PERTIDAKSAAMAAN BILANGAN RILL

BILANGAN RIIL DAN PERTIDAKSAMAAN

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan realmenyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π . Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Sifat-sifat

Aksioma medan

Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut. Misalkan x,y dan zmerupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:

Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx

Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z

Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)

Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.

Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.

Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil xtidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil ysehingga xy=1. Kita dapat melambangkan ysebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Aksioma urutan

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini^.

Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+

Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -x anggota R+, tapi tidak mungkin keduanya sekaligus

Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

Aksioma kelengkapan

Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil Syang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S).

PERTIDASAMAAN

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a² < b²