Rumus Reduksi Dalam Integral

November 14, 2019

Rumus Reduksi Dalam Integral

Dalam mempelajari integral, kita sering menemui bentuk integral trigonometri yang tidak biasa, dan terlihat menyusahkan. Seperti dalam mencari bentuk integral trigonometri dalam bentuk perpangkatan, apalagi jika pangkat yang ditanyakan lebih dari dua. Untuk memudahkan kita dalam menyelesaikan tantangan tersebut, kita dapat menggunakan rumus reduksi untuk integral trigonometri, sehingga pemecahan masalah bisa menjadi lebih sederhana. Dan berikut ini adalah penurunan rumus reduksi trigonometri untuk integral {sin (x)}^n dx, integral {cos (x)}^n dx, dan integral {tan (x)}^n dx.

1. Penurunan Rumus Reduksi Integral {sin (x)}^n dx

Kita tahu bahwa $\int sinx dx= -cosx+C$ .

Bagaimana dengan $\int sin^2 x dx$ ?

Kita tahu bahwa

$cos(2x)=1-2sin^2 (x)\\\\ \Leftrightarrow 2sin^2 (x)=1-cos(2x)\\\\\Leftrightarrow sin^2 (x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(2x)$

Maka $\int sin^2 x dx = \int (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x)dx$

= $\int \frac{1}{2}dx-\frac{1}{2}cos(2x)dx$

Ingat bahwa $\int cos(2x)dx=\frac{1}{2}sin(2x)+C$ .

= $\frac{1}{2}x-\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{1}{2} \right )sin(2x)+C$

Dan bagaimana cara mencari $\int sin^4 x dx$ ?

$\int sin^4 x dx$ = $\int (sin^2 x)^2 dx$

= $\left (\frac{1}{2}x-\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{1}{2} \right )sin(2x) \right )^2$

= $\int \left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}cos^2 (2x)-\frac{1}{2}cos(2x) \right )dx$

= $\frac{1}{4}\int dx+\frac{1}{4}\int cos^2 (2x)dx-\frac{1}{2}\int cos(2x)dx$

Ingat bahwa :

$\\\int cosx dx=sinx+c \\\Leftrightarrow \int cos^2 xdx = \int \left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x \right )\\ {\color{Magenta} cos(2x)=2cos^2(x)-1\Leftrightarrow cos^2(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2x)}\\\Leftrightarrow \int cos^2 xdx =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin(2x)+C \\\Leftrightarrow \int cos^2 (2x)dx =\frac{1}{2}(2x)+\frac{1}{4}sin2(2x)+C\\\Leftrightarrow \int cos^2 (2x)dx =\frac{1}{2}(2x)+\frac{1}{4}sin(4x)+C$

= $\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}sin(2x)+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin(4x) \right )+C$

= $\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}sin(2x)+\frac{1}{32}sin(4x)+C$

Maka dengan rumus reduksi kita tidak perlu menjabarkan panjang lebar penyelesaian di atas.

Berikut adalah penurunan rumus induksi dari integral {sin (x)}^n dx.

$\\\int sin^n xdx=\int\left ( sin^{n-1}x\cdot sinx \right )dx\\=\int sin^{n-1}x \cdot d(-cosx)\\=sin^{n-1}x\cdot (-cosx)-\int -cosx \cdot d(sin^{n-1}x)\\\ {\color{Magenta} \frac{d(sin^{n-1}x)}{d(sinx)}\cdot \frac{d(sinx)}{dx}=(n-1)sin^{n-2}x\cdot cosx}\\=-sin^{n-1}x\cdot cosx+\int cosx((n-1)sin^{n-2}x\cdot cosx)dx\\=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int cos^2x\cdot sin^{n-2}xdx\\=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int (1-sin^2x)sin^{n-2}xdx\\=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int (sin^{n-2}x-sin^nx)dx\\=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int sin^{n-2}dx-(n-1)\int sin^nxdx$

Berakibat

$\\\int sin^ndx+(n-1)\int sin^nxdx=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int sin^{n-2}dx\\\Leftrightarrow n\int sin^nxdx=-sin^{n-1}x\cdot cosx+(n-1)\int sin^{n-2}dx\\\Leftrightarrow \int sin^nxdx=-\frac{1}{n}sin^{n-1}x\cdot cosx+\frac{n-1}{n}\int sin^{n-2}dx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 1$

Jadi, $\int sin^nxdx=-\frac{1}{n}sin^{n-1}x\cdot cosx+\frac{n-1}{n}\int sin^{n-2}dx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 1$ .

2. Penurunan Rumus Reduksi Integral {cos (x)}^n dx

$\\\int cos^n xdx=\int\left ( cos^{n-1}x\cdot cosx \right )dx\\=\int cos^{n-1}x \cdot d(sinx)\\=cos^{n-1}x\cdot (sinx)-\int sin \cdot d(cos^{n-1}x)\\\ {\color{Magenta} \frac{d(cos^{n-1}x)}{d(cosx)}\cdot \frac{d(cosx)}{dx}=(n-1)cos^{n-2}x\cdot -cosx}\\=cos^{n-1}x\cdot sinx+\int sinx((n-1)cos^{n-2}x\cdot sinx)dx\\=cos^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int sin^2x\cdot cos^{n-2}xdx\\=cos^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int (1-cos^2x)cos^{n-2}xdx\\=cosx^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int (cos^{n-2}x-cos^nx)dx\\=cos^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int cos^{n-2}dx-(n-1)\int cos^nxdx$

Berakibat

$\\\int cos^ndx+(n-1)\int cos^nxdx=cos^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int cos^{n-2}dx\\\Leftrightarrow n\int cos^nxdx=cos^{n-1}x\cdot sinx+(n-1)\int cos^{n-2}dx\\\Leftrightarrow \int cos^nxdx=\frac{1}{n}cos^{n-1}x\cdot sinx+\frac{n-1}{n}\int cos^{n-2}dx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 1$

Jadi, $\int cos^nxdx=\frac{1}{n}cos^{n-1}x\cdot sinx+\frac{n-1}{n}\int cos^{n-2}dx, \forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 1$ .

3. Penurunan Rumus Reduksi Integral {tan (x)}^n dx

Ingat bahwa

${\color{Cyan} 1+tan^2x=sec^2x\\\Leftrightarrow tan^2x=sec^2x-1}$

$\\\int tan^nxdx=\int (tan^{n-2}x\cdot tan^2x)dx\\=\int (tan^{n-2}x(sec^2x-1))dx\\=\int (tan^{n-2}x\cdot sec^2x)-\int tan^{n-2}xdx\\ {\color{DarkGreen} \frac{d(tanx)}{dx}=sec^2x} \\=\int tan^{n-2}x\cdot d(tanx)-\int tan^{n-2}xdx \\\frac{1}{(n-2)+1}tan^{x-2+1}x-\int tan^{n-2}xdx\\\frac{1}{(n-1)}tan^{x-1}x-\int tan^{n-2}xdx$

Jadi $\int tan^nxdx=\frac{1}{(n-1)}tan^{x-1}x-\int tan^{n-2}xdx, \forall n\in\mathbb{N}, n> 1$

sumber : https://cahyatieka.wordpress.com/2017/04/14/membagun-rumus-reduksi-integral-sin-xn-dx/

Cari Blog Ini

Kalkulus

Rumus Reduksi Dalam Integral

Komentar

Posting Komentar

Postingan Populer

Menyelesaikan Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu

Soal Integral Tentu